Progressjoni ġeometrika. EŻEMPJU għad-deċiżjoni

Ikkunsidra fila.

7 28 112 448 1792 ...

juri b'mod ċar li l-valur ta 'kwalunkwe mill-elementi tiegħu aktar mill-preċedenti eżattament erba' darbiet. Allura, din is-serje hija progressjoni.

progressjoni ġeometrika imsejħa sekwenza infinita ta 'numri, il-karatteristika prinċipali tagħha huwa li n-numru li ġej huwa miksub minn dak li ntqal billi jiġi mmultiplikat bil xi numru definit. Dan huwa espress bil-formula li ġejja.

_{z 1 = z · q} , fejn z - numru ta 'l-element magħżula.

Għaldaqstant, z ∈ N.

A żmien meta l-iskola studjat ġeometrika progressjoni - 9 grad. Eżempji se jgħinu jifhem il-kunċett:

0.25 0.125 0.0625 ...

18 Frar 6 ...

Ibbażat fuq din il-formula, il-progressjoni tad-denominatur jistgħu jinstabu kif ġej:

La q, jew b _z ma tistax tkun żero. Ukoll, kull wieħed mill-elementi ta 'sensiela ta' numri progressjoni m'għandux ikun żero.

Għaldaqstant, biex tara in-numru li jmiss ta 'numru, immoltiplika dan tal-aħħar mill q.

Sabiex jiġi definit dan progressjoni, trid tispeċifika l-ewwel element ta 'dan u d-denominatur. Wara dak huwa possibbli li ssib xi wieħed mill-membri li ġejjin u l-ammont tagħhom.

speċi

Jiddependi fuq il-qu _{ta '1,} dan progressjoni huwa maqsum f'diversi tipi:

• Jekk _1, uq huwa akbar minn wieħed, allura sekwenza - jiżdied ma 'kull element suċċessiv ta' progressjoni ġeometrika. Eżempji tiegħu huma ddettaljati hawn taħt.

Eżempju: _'1 = 3, q = 2 - akbar minn unità, kemm parametri.

Imbagħad sekwenza ta 'numri tista' tinkiteb bħala:

3 6 12 24 48 ...

• Jekk | q | anqas minn wieħed, jiġifieri, huwa ekwivalenti għall-multiplikazzjoni mill diviżjoni, il-progressjoni b'kundizzjonijiet simili - jonqsu progressjoni ġeometrika. Eżempji tiegħu huma ddettaljati hawn taħt.

Eżempju: _'1 = 6, q = 1/3 - _{ta' 1} huwa akbar minn wieħed, q - inqas.

Imbagħad sekwenza ta 'numri tista' tinkiteb kif ġej:

6 2 2/3 ... - kull element aktar elementi li ġejjin dan, huwa 3 darbiet.

• Alternanti. Jekk q <0, is-sinjali tan-numri ta 'l-alternanti sekwenza kostanti irrispettivament ta' _1, u l-elementi ta 'kwalunkwe żieda jew tnaqqis.

Eżempju: _'1 = -3, q = -2 - huma t-tnejn inqas minn żero.

Imbagħad sekwenza ta 'numri tista' tinkiteb bħala:

3, 6, -12, 24, ...

formula

Għall-użu konvenjenti, hemm ħafna progressjonijiet ġeometriċi tal-formuli:

• Formula z th tul. Hija tippermetti l-kalkolu tal-element ta 'numru speċifiku mingħajr kalkolu tal-numri preċedenti.

Eżempju: q = 3, a = ₁ 4. meħtieġa li jikkalkulaw ir-raba 'progressjoni element.

Soluzzjoni: a = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• -Somma tal-ewwel elementi, li n-numru huwa ugwali għal z. Hija tippermetti l-kalkolu tas-somma tal-elementi kollha fil-sekwenza li _z inklussiva.

≠ 0, għalhekk, q mhuwiex 1 - (q 1) Peress (1- q) hija fl-denominatur, imbagħad.

Nota: jekk q = 1, allura l-progressjoni kien irrapreżenta numru ta endlessly tirrepeti l-għadd.

Ammont b'mod esponenzjali eżempji: _'1 = 2, q = -2. Ikkalkula S _5.

Soluzzjoni: S ₅ = 22 - formula ta 'kalkolu.

• Ammont jekk | q | <1 u meta z-tendenza li infinity.

Eżempju: _'1 = _2, q = 0.5. Sib is-somma.

Soluzzjoni: S _z = 2 x = 4

Jekk aħna jikkalkulaw is-somma ta 'diversi membri tal-manwali, inti se tara li hija tabilħaqq impenjata għal erbgħa.

S _z = + 1 + 2 0.5 + 0.25 + 0,125 + 0.0625 = 3.9375 4

Xi proprjetajiet:

• A proprjetà karatteristika. Jekk il-kundizzjoni li ġejja Hija żżomm għal kull z, mbagħad jingħataw sensiela numeriku - progressjoni ġeometrika:

_z ² = A _{z -1} · A _{z + 1}

• Huwa wkoll il-isquare ta 'xi numru huwa b'mod esponenzjali permezz ta żieda ta' l-kwadri taż-żewġ numri oħra fi kwalunkwe ringiela partikolari, jekk huma ekwidistanti mill-element.

^2a _z = _{z - t} ² _{+ z} + _T ² fejn t - id-distanza bejn dawn in-numri.

• L-elementi ivarja drabi q.
• -Logaritmi tal-elementi ta 'progressjoni kif ukoll jiffurmaw progressjoni, iżda l-aritmetika, jiġifieri kull wieħed minnhom aktar minn dak preċedenti minn ċertu numru.

Eżempji ta 'xi problemi klassiċi

Biex tifhem aħjar dak progressjoni ġeometrika, bl-eżempji deċiżjonijiet għall-grad 9 jistgħu jgħinu.

• Termini u kundizzjonijiet: _'1 = 3, ₃ = 48. Sib q.

Soluzzjoni: kull element suċċessiv f'aktar minn lq preċedenti żmien. Huwa meħtieġ li jesprimu xi elementi permezz oħra permezz denominatur.

Konsegwentement, ₃ = q ² · _'1

Meta tissostitwixxi q = 4

• Kundizzjonijiet: ₂ = 6, a = ₃ 12. Ikkalkula S _6.

Soluzzjoni: Biex tagħmel dan, huwa biżżejjed li jiġi kkonstatat q, l-ewwel element u sostitut fil-formola.

₃ = q · _2, konsegwentement, q = 2

₂ = q · A _1, hekk a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Sib il-raba 'element ta' progressjoni.

Soluzzjoni: huwa biżżejjed li jesprimu r-raba 'element permezz tal-ewwel u permezz tal-denominatur.

₄ ^{ta '3} = q · a = ₁ -80

Eżempju Applikazzjoni:

• klijent Bank ikkontribwixxa is-somma ta '10,000 rublu, li taħthom kull sena lill-klijent li l-ammont prinċipali se jkunu miżjuda 6% ta' dan għalkemm. Kemm flus huwa fil-kont wara 4 snin?

Soluzzjoni: L-ammont inizjali ekwivalenti għal 10 elf rubles. Allura, sena wara l-investimenti fil-kont se jkun l-ammont ugwali għal 10000 + 10000 = 10000 · 0.06 · 1.06

Għaldaqstant, l-ammont fil-kont anki wara sena se tkun espressa kif ġej:

(10000 · 1.06) · 10000 · 0.06 + 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

Dan huwa, kull sena l-ammont żdied għal 1.06 darbiet. Għalhekk, biex issib in-numru tal-kont wara 4 snin, huwa biżżejjed li jiġi kkonstatat raba progressjoni element, li hija mogħtija ewwel element ugwali għal 10 elf, u d-denominatur ugwali għal 1.06.

S = 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 = 12,625

Eżempji ta 'problemi fil-komputazzjoni tas-somma ta':

Fi problemi varji permezz progressjoni ġeometrika. Eżempju ta 'konstatazzjoni-somma tista' tkun stabbilita kif ġej:

_{ta '1} = 4, q = 2, ikkalkula S _5.

Soluzzjoni: id-data kollha meħtieġa għall-kalkolu huma magħrufa, sempliċiment tissostitwixxi minnhom fil-formola.

S ₅ = 124

• ₂ = 6, a = ₃ 18. Ikkalkula s-somma ta 'l-ewwel sitt elementi.

soluzzjoni:

Il Geom. -progress ta 'kull element tal-akbar jmiss mill-ħinijiet q preċedenti, jiġifieri, li jikkalkulaw l-ammont li għandek bżonn tkun taf l-element _{ta' 1} u lq denominatur.

₂ · q = a ₃

q = 3

Bl-istess mod, il-ħtieġa li tinstab _{1, 2} u jafu q.

_{ta '1} · q = ₂

_{ta '1} = 2

U mbagħad huwa biżżejjed li tissostitwixxi d-dejta magħrufa fil-ammont formola.

S ₆ = 728.