Lineari u ekwazzjoni differenzjali omoġenju ta 'l-ewwel ordni. eżempji ta 'soluzzjonijiet

Naħseb li għandna tibda bil-istorja tal-għodda matematika glorjuża bħala ekwazzjonijiet differenzjali. Bħal kull l-differenzjali u kalkulu integrali, dawn l-ekwazzjonijiet ġew ivvintati mill Newton fis-seklu 17 tard. Hu jemmen li kien iskoperta tiegħu tant importanti li anke l-messaġġ encrypted, li llum jista 'jiġi tradott kif ġej: ". Il-liġijiet tan-natura deskritta mill-ekwazzjonijiet differenzjali" Dan jista 'jidher esaġerazzjoni, iżda huwa veru. Kwalunkwe liġi tal-fiżika, kimika, bioloġija, jistgħu jiġu deskritti minn dawn ekwazzjonijiet.

Kontribut enormi għall-iżvilupp u l-ħolqien tat-teorija ta 'ekwazzjonijiet differenzjali għandhom matematika ta' Euler u Lagrange. Diġà fis-seklu 18 huma skoprew u żviluppaw dik li issa jistudjaw fl-korsijiet universitarji anzjani.

A pass ġdid fl-istudju ta 'ekwazzjonijiet differenzjali beda grazzi għall Anri Puankare. Huwa ħoloq "teorija kwalitattiva ta 'ekwazzjonijiet differenzjali", li, flimkien mal-teorija tal-funzjonijiet ta' varjabbli komplessi kkontribwew b'mod sinifikanti għall-fondazzjoni tal topoloġija - l-xjenza ta 'spazju u l-proprjetajiet tiegħu.

X'inhuma ekwazzjonijiet differenzjali?

Ħafna nies jibżgħu tal-frażi "ekwazzjoni differenzjali". Madankollu, f'dan l-artikolu aħna se jistabbilixxu fid-dettall l-essenza ta 'din l-għodda matematiċi utli ħafna li huwa attwalment mhux bħala kkumplikati kif jidher mit-titolu. Sabiex jibdew jitkellmu dwar l-ewwel ordni ekwazzjoni differenzjali, l-ewwel trid jiffamiljarizzaw irwieħhom mal-kunċetti bażiċi li huma intrinsikament assoċjati ma 'din id-definizzjoni. U aħna ser tibda bil-differenzjali.

differenzjali

Ħafna nies jafu dan it-terminu peress iskola għolja. Madankollu, xorta nitkellem fuqha fid-dettall. Immaġina l-graff tal-funzjoni. Nistgħu żżidu sa tali punt li xi waħda mill-segment isir linja dritta. Hija ser tieħu żewġ punti li huma infinitament qrib xulxin. Id-differenza bejn koordinati tagħhom (x jew y) huwa infiniteżmali. U huwa msejjaħ differenzjali u l-karattri jaħtar dy (differenzjali ta 'y) u dx (-differenzjal ta' x). Huwa importanti li wieħed jifhem id-differenza mhix l-valur aħħari, u dan huwa l-tifsira u l-funzjoni prinċipali.

U issa inti trid tikkunsidra l-elementi li ġejjin, li aħna se bżonn biex tispjega l-kunċett ekwazzjoni differenzjali. Hija - derivattiv.

derivattiv

Lkoll trid smajt fl-iskola u dan il-kunċett. Huma jgħidu li l-derivattiv - hija r-rata ta 'tkabbir jew tnaqqis fil-funzjoni. Madankollu, din id-definizzjoni isir aktar konfużjoni. Let us jippruvaw jispjegaw it-termini derivattivi tal-differenzjali. Ejja ħa mmorru lura għall-funzjoni intervall infiniteżmali b'żewġ punti, li jinsabu f'distanza minima minn xulxin. Iżda anke lil hinn minn dan il-funzjoni distanza huwa żmien għall-bidla għal xi valur. U biex jiddeskrivu li l-bidla u toħroġ bi derivat li kieku kienu jkunu miktuba bħala l-proporzjon tad-differenzi: f (x) "= df / dx.

Issa huwa meħtieġ li jiġi kkunsidrat l-proprjetajiet bażiċi tal-derivattiv. Hemm biss tlieta:

1. somma derivattiv jew id-differenza jistax jiġi rappreżentat bħala s-somma jew differenza ta 'l-derivattivi: (a + b) "= a" + b ", u (ab)" = a'-b ".
2. It-tieni proprjetà huwa konness ma 'multiplikazzjoni. xogħlijiet derivattivi - huwa s-somma tax-xogħlijiet tal-funzjoni waħda għal derivattiv ieħor: (a * b) "= a * b + a * b".
3. -Derivattiv tad-differenza tista 'tinkiteb bħala l-ekwazzjoni li ġejja: (a / b) "= (a" * ba * b') / b ^2.

Dawn il-karatteristiċi jidħol fil handy għal sejba ta 'soluzzjonijiet għall differenzjali ekwazzjonijiet tal-ewwel ordni.

Ukoll, hemm derivattivi parzjali. Ejja ngħidu aħna għandna funzjoni tal-z, li jiddependi fuq il-x varjabbli xuy. Biex jiġi kkalkulat il-derivattiv parzjali ta 'din il-funzjoni, per eżempju, fil x, jeħtieġ li nieħdu l-y varjabbli għall kostanti u faċli biex jiddifferenzjaw.

integrali

kunċett importanti ieħor - integrali. Fil-fatt huwa l-oppost ta 'derivattiv. Integrali diversi tipi, iżda s-soluzzjonijiet sempliċi ta 'ekwazzjonijiet differenzjali, għandna bżonn l-aktar trivjali integrali indefinit.

Allura, x'inhi l-integrali? Ejja ngħidu aħna għandna xi relazzjoni f ta 'x. Nieħdu minnha l-integrali u jiksbu F funzjoni (x) (huwa spiss imsejjaħ bħala primittiv), li hija derivattiva tal-funzjoni oriġinali. Għalhekk F (x) "= f (x). Dan jimplika wkoll li l-integral tar-derivattiv huwa ugwali għall-funzjoni oriġinali.

Fil soluzzjoni ta 'ekwazzjonijiet differenzjali huwa importanti ħafna li jifhmu t-tifsira u l-funzjoni tal-integrali, peress ħafna drabi jkollhom jieħdu biex isibu soluzzjonijiet.

L-ekwazzjonijiet huma differenti skont in-natura tagħhom. Fit-taqsima li jmiss aħna se tħares lejn tipi ta 'l-ewwel ekwazzjonijiet differenzjali ordni, u mbagħad jitgħallmu kif biex isolvuhom.

Klassijiet ta 'ekwazzjonijiet differenzjali

"Diffury" diviż bil-ordni ta 'derivattivi involuti fihom. Għalhekk hemm l-ewwel, it-tieni, it-tielet jew aktar ordni. Huma jistgħu wkoll tkun maqsuma f'diversi klassijiet: ordinarji u parzjali.

F'dan l-artikolu, aħna ser tikkunsidra l-ekwazzjonijiet differenzjali ordinarji tal-ewwel ordni. Eżempji u soluzzjonijiet niddiskutu fit-taqsimiet li ġejjin. Aħna nikkunsidraw biss it-TAC minħabba li huwa l-aktar tipi komuni ta 'ekwazzjonijiet. Ordinarju maqsum sottospeċi: ma varjabbli separabbli, omoġenji u eteroġenji. Li jmiss inti ser jitgħallmu kif dawn huma differenti minn xulxin, u jitgħallmu kif biex isolvuhom.

Barra minn hekk, dawn l-ekwazzjonijiet jistgħu jiġu kkombinati, sabiex wara nikbru sistema ta 'ekwazzjonijiet differenzjali ta' l-ewwel ordni. Sistemi bħal dawn, aħna wkoll tħares lejn u jitgħallmu kif se ssolvi.

Għaliex aħna qed jikkunsidraw biss l-ewwel ordni? Minħabba li huwa meħtieġ li tibda bil sempliċi u jiddeskrivu kollha assoċjati mal ekwazzjonijiet differenzjali, f'artikolu wieħed huwa impossibbli.

Ekwazzjonijiet ma 'varjabbli separabbli

Din hi forsi l-ewwel ekwazzjonijiet aktar sempliċi differenzjali ordni. Dawn huma eżempji li jistgħu jiġu miktuba bħala: y "= f (x) * f (y). Biex issolvi din l-ekwazzjoni għandna bżonn l-formula rappreżentazzjoni tad-derivattiv bħala l-proporzjon tad-differenzi: y "= dy / dx. Magħha irridu jiksbu l-ekwazzjoni: dy / dx = f (x) * f (y). Issa nistgħu jduru għall-metodu ta 'soluzzjoni eżempji standard: issepara l-varjabbli fil-partijiet, jiġifieri fast quddiem il-y varjabbli fil-parti fejn hemm dy, u wkoll tagħmel il-varjabbli x ... Aħna jiksbu l-ekwazzjoni tal-formola: dy / f (y) = f (x) dx, li jintlaħaq billi jittieħdu l-integrabbli taż-żewġ partijiet. Tinsiex dwar il-kostanti li inti tixtieq li tqiegħed wara l-integrazzjoni.

Is-soluzzjoni ta 'kull "diffura" - hija funzjoni ta' x minn y (fil-każ tagħna), jew jekk ikun hemm kundizzjoni numerika, ir-risposta huwa numru. Let us teżamina eżempju konkret il-kors kollu tad-deċiżjoni:

y "= 2y * dnub (x)

Ittrasferixxi l-varjabbli f'direzzjonijiet differenti:

dy / y = 2 * dnub (x) dx

Issa jieħdu l-integrali. Kollha kemm huma jista 'jinstab f'tabella speċjali ta' integrali. U nikbru:

ln (y) = -2 * (x) + C cos

Jekk meħtieġ, nistgħu jesprimu l- "y" bħala funzjoni ta ' "X". Issa nistgħu ngħidu li l-ekwazzjoni differenzjali tagħna tissolva, jekk mhux speċifikat kundizzjoni. Jista 'jiġi speċifikat kundizzjoni, per eżempju, y (m / 2) = e. Imbagħad aħna se sempliċiment tissostitwixxi l-valur ta 'dawn il-varjabbli fid-deċiżjoni u jsibu l-valur tal-kostanti. Fl-eżempju tagħna, huwa 1.

Omoġenji ekwazzjonijiet differenzjali ewwel ordni

Issa 'l quddiem il-partijiet aktar kumplessi. ewwel ekwazzjonijiet differenzjali ordni omoġenji jista 'jinkiteb fil-forma ġenerali kif: y "= z (x, y). Għandu jiġi nnutat li l-funzjoni dritt ta 'żewġ varjabbli huwa uniformi, u ma jistax jiġi maqsum fi tnejn jiddependi fuq: z xu z ta' y. Iċċekkja jekk l-ekwazzjoni hija omoġenja jew le, huwa pjuttost sempliċi: nagħmlu l-sostituzzjoni x = k * xuy = k * y. Issa aħna maqtugħin kollha k. Jekk dawn l-ittri jitwaqqgħu, allura l-ekwazzjoni omoġenju u jistgħu b'sigurtà tipproċedi għall soluzzjoni tagħha. B'ħarsa 'l quddiem, ngħidu: il-prinċipju tas-soluzzjoni ta' dawn l-eżempji huwa wkoll sempliċi ħafna.

Għandna bżonn li jagħmlu sostituzzjoni: y = t (x) * x, fejn t - funzjoni li tiddependi wkoll fuq x. Imbagħad nistgħu jesprimu l derivattiv: y "= t" (x) * x + t. Tissostitwixxi dan kollu fis-ekwazzjoni oriġinali tagħna u simplifikazzjoni dan, aħna għandna l-eżempju tas-separazzjoni tal-varjabbli 't bħala x. Issolviha u jiksbu d-dipendenza ta 't (x). Meta aħna ltqajna, sempliċiment tissostitwixxi preċedenti tagħna sostituzzjoni y = t (x) * x. Imbagħad irridu jiksbu d-dipendenza ta 'y fuq x.

Tkun iktar ċara, aħna għandu jifhem eżempju: x * y "= YX * y e / x.

Meta jivverifikaw is-sostituzzjoni ta 'kulħadd jonqos. Allura, l-ekwazzjoni huwa verament omoġenji. Issa jagħmlu sostituzzjoni ieħor, tkellimna dwar: y = t (x) * xuy "= t" (x) * x + t (x). Wara simplifikazzjoni-ekwazzjoni li ġejja: t "(x) * x = -e t. Aħna jiddeċiedu li tikseb kampjun ma 'varjabbli separati u ^{nikbru: e -T = ln (Ċ *} x). Aħna biss bżonn biex jissostitwixxu t mill y / x (għaliex jekk y = t * x, allura t = y / x), u irridu jiksbu ^{l-risposta: e -y / x = ln (} x * C).

ekwazzjoni differenzjali lineari ta 'l-ewwel ordni

Wasal iż-żmien biex jikkunsidraw suġġett wiesgħa ieħor. Aħna se nħarsu eteroġeni ekwazzjonijiet differenzjali-ewwel ordni. Kif ikunu differenti mill-żewġ preċedenti? Ejja jiffaċċjaw dan. Lineari ekwazzjonijiet ewwel ordni differenzjali fil-forma ġenerali ta 'l-ekwazzjoni tista' tinkiteb hekk: y "+ g (x) y * = z (x). Għandu jiġi ċċarat li z (x) u g (x) jistgħu jkunu f'valuri kostanti.

Hawn eżempju: y "- y * x = x ^2.

Hemm żewġ modi biex tissolva, u aħna tordna Let us teżamina tnejn minnhom. L-ewwel - il-metodu ta 'varjazzjoni tal-kostanti arbitrarji.

Biex issolvi l-ekwazzjoni b'dan il-mod, huwa meħtieġ li qabblet l-ewwel naħa tal-lemin għal żero, u ssolvi l-ekwazzjoni li tirriżulta li wara t-trasferiment ta 'partijiet isir:

y "= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x ^2/2 + Ċ;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Issa huwa meħtieġ li jinbidlu l-kostanti C ₁ dwar il-funzjoni v (x), li aħna se ssib.

y = vs * e ^{x2 / 2.}

Pinġi derivattiv ta 'sostituzzjoni:

^{y "= vs" * e x2} / ² -x * vs * e ^{x2 / 2.}

U tissostitwixxi dawn l-espressjonijiet fil-ekwazzjoni oriġinali:

vs "* e ^{x2 / 2} - x * vs * e ^{x2 / 2} + x * vs * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Tista 'tara li fil-naħa tax-xellug taż-żewġ termini huma mnaqqsa. Jekk xi eżempju li ma seħħx, allura inti għamlu xi ħaġa ħażina. Aħna tkompli:

vs "* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Issa aħna issolvi l-ekwazzjoni soltu fejn inti tixtieq li tissepara l-varjabbli:

dv / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{- x2 / 2} dx.

Biex tneħħi l-integrali, irridu japplikaw l-integrazzjoni mill-partijiet hawn. Madankollu, dan mhuwiex is-suġġett ta 'dan l-artikolu. Jekk int interessat, tista 'titgħallem fuq tagħhom stess sabiex twettaq dawn l-azzjonijiet. Mhuwiex diffiċli, u ma 'ħiliet biżżejjed u l-kura mhijiex ħin.

B'referenza għat-tieni metodu s-soluzzjoni tal-ekwazzjonijiet inhomogeneous: Metodu Bernoulli. Liema approċċ hu aktar mgħaġġel u aktar faċli - huwa sa inti.

Allura, meta jsolvu dan il-metodu, għandna bżonn li jagħmlu sostituzzjoni: y = k * n. Hawnhekk, k u n - xi funzjonijiet jiddependi fuq x. Imbagħad il-derivattiv se look like: y "= k" * n + k * n ". Sostitut żewġ sostituzzjonijiet fil-ekwazzjoni:

k "* n + k * n " + x * k * n = × ^2.

Grupp up:

k "* n + k * ( n" + x * n) = × ^2.

Issa huwa meħtieġ li ekwivalenti għal żero, jiġifieri fil-parentesi. Issa, jekk inti jikkombinaw dawn iż-żewġ ekwazzjonijiet li jirriżultaw, irridu jiksbu sistema ta 'ekwazzjonijiet differenzjali ewwel ordni li jiġu solvuti:

n "+ x * n = 0;

k "* n = x ^2.

L-ewwel ugwaljanza tiddeċiedi kif l-ekwazzjoni soltu. Biex tagħmel dan, għandek bżonn biex jiġu separati l-varjabbli:

dn / dx = x * vs;

dn / n = xdx.

Nieħdu l-integrali u irridu jiksbu: ln (n) = × ^2/2. Imbagħad, jekk nesprimu n:

n = e ^{x2 / 2.}

Issa tissostitwixxi l-ekwazzjoni li tirriżulta fit-tieni ekwazzjoni:

k "* e ^{x2 / 2} = x ^2.

U trasformazzjoni, irridu jiksbu l-istess ekwazzjoni bħal fl-ewwel metodu:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Aħna wkoll mhux ser jiddiskuti azzjoni ulterjuri. Huwa qal li fl-ewwel ekwazzjonijiet differenzjali-ewwel ordni soluzzjoni tikkawża diffikultajiet konsiderevoli. Madankollu, immersjoni aktar profonda fis-suġġett qed jibda biex tikseb aħjar u aħjar.

Fejn huma ekwazzjonijiet differenzjali?

ekwazzjonijiet attivi ħafna differenzjali użati fil-fiżika, kif kważi l-liġijiet bażiċi huma miktuba fil-forma differenzjali, u dawk formuli, li naraw - soluzzjoni għal dawn l-ekwazzjonijiet. Fil-kimika, huma użati għall-istess raġuni: l-liġijiet bażiċi huma derivati permezz tagħhom. Fil-bijoloġija, l-ekwazzjonijiet differenzjali huma użati għall-mudell l-imġieba ta 'sistemi, bħall-predaturi - priża. Huma jistgħu wkoll jintużaw biex joħolqu mudelli ta 'riproduzzjoni, per eżempju, kolonji ta' mikro-organiżmi.

Kif ekwazzjonijiet differenzjali jgħinu fil-ħajja?

It-tweġiba għal din il-mistoqsija hija sempliċi: xejn. Jekk m'intix xjenzat jew inġinier, huwa improbabbli li dawn se jkunu utli. Madankollu, ma iweġġgħu li tkun taf liema l-ekwazzjoni differenzjali u huwa solvuti għall-iżvilupp globali. U allura l-kwistjoni ta 'iben jew bint, "dak ekwazzjoni differenzjali?" ma tpoġġi lilek tmiem mejta. Ukoll, jekk inti xjenzat jew inġinier, imbagħad inti taf l-importanza ta 'dan is-suġġett fi kwalunkwe xjenza. Iżda aktar importanti, li issa għall-mistoqsija "kif se ssolvi l-ekwazzjoni differenzjali ta 'l-ewwel ordni?" inti dejjem se tkun tista 'tagħti risposta. Jaqblu, huwa dejjem sbieħ meta inti tirrealizza li dak in-nies huma saħansitra jibżgħu biex issir taf.

Il-problemi ewlenin fl-istudju

Il-problema ewlenija fil-fehim ta 'dan is-suġġett hija drawwa ħażina ta' integrazzjoni u differenzjazzjoni funzjonijiet. Jekk inti skomda TASSUMI derivattivi u integrali, dan huwa probabbilment jiswew aktar biex jitgħallmu, jitgħallmu metodi differenti ta 'integrazzjoni u d-divrenzjar, u biss mbagħad jipproċedi għall-istudju tal-materjal li ġie deskritt fl-artikolu.

Xi nies huma sorpriż li jitgħallmu li dx jistgħu jiġu trasferiti, bħal qabel (fl-iskola) argumentat li l dy frazzjoni / dx hija indiviżibbli. Imbagħad għandek bżonn biex taqra l-letteratura dwar il-derivattiva u jifhmu li huwa l-attitudni ta 'kwantitajiet infinitament żgħar, li jistgħu jitbagħbsu fis-soluzzjoni ekwazzjonijiet.

Ħafna nies ma immedjatament jirrealizzaw li s-soluzzjoni ta 'ekwazzjonijiet differenzjali ta' l-ewwel ordni - dan huwa spiss funzjoni jew neberuschiysya integrali, u dan delużjoni tagħtihom ħafna problemi.

X'aktar jista 'jiġi studjat biex jifhmu aħjar?

Huwa aħjar li tibda aktar immersjoni fis-dinja tal-kalkulu differenzjali ta 'kotba speċjalizzati, per eżempju, fl-analiżi matematika għall-istudenti ta' speċjalizzazzjonijiet mhux matematiċi. Tista 'mbagħad jimxu mal-letteratura aktar speċjalizzata.

Huwa qal li, minbarra l-differenzjali, għad hemm ekwazzjonijiet integrali, sabiex inti dejjem se jkollhom xi ħaġa li jistinkaw għal u dak għall-istudju.

konklużjoni

Nittamaw li wara li taqra dan l-artikolu ser ikollok idea ta 'dak l-ekwazzjonijiet differenzjali u kif se ssolvi b'mod korrett.

Fi kwalunkwe każ, il-matematika fi kwalunkwe mod utli lilna fil-ħajja. Huwa jiżviluppa loġika u attenzjoni, li mingħajrhom kull bniedem, kif mingħajr idejn.