Kalkulu differenzjali ta 'funzjonijiet ta' wieħed u varjabbli diversi

kalkulu differenzjali hija fergħa ta 'analiżi matematika, li jeżamina l-derivattiv, id-differenzjali u l-użu tagħhom fl-istudju ta' funzjonijiet.

L-istorja ta

kalkulu differenzjali ħarġu bħala dixxiplina indipendenti fit-tieni nofs tas-seklu 17, grazzi għall-ħidma ta 'Newton u Leibniz, li fformulat id-dispożizzjonijiet bażiċi fil-kalkolu ta' differenzjali u nnotat l-konnessjoni bejn l-integrazzjoni u d-divrenzjar. Peress dixxiplina huwa żviluppa flimkien mal-kalkolu ta 'integrali, u b'hekk jikkostitwixxu l-bażi tal-analiżi matematiċi. Id-dehra ta 'dawn kalkuli fetħet perjodu moderna ġdid fid-dinja matematiku u kkawża l-ħolqien ta' dixxiplini ġodda fix-xjenza. estenda wkoll il-possibbiltà li japplikaw matematika fix-xjenzi naturali u inġinerija.

kunċetti bażiċi

kalkulu differenzjali hija bbażata fuq il-kunċetti fundamentali tal-matematika. Dawn huma: numru reali, kontinwità u l-limitu ta 'funzjoni. Wara żmien, huma ħadu ħarsa moderna, grazzi għall-kalkulu integrali u differenzjali.

Il-proċess tal-ħolqien

Formazzjoni tal-kalkulu differenzjali fil-forma ta 'applikazzjoni, u allura l-metodu xjentifiku seħħet qabel l-emerġenza ta' teorija filosofika, li ġiet maħluqa minn Nikolay Kuzansky. Ix-xogħol tiegħu huwa kkunsidrat bħala żvilupp evoluzzjonarju mill-xjenza antika ta 'sentenza. Minkejja l-fatt li l-filosofu innifsu ma kien matematiku,-kontribuzzjoni tiegħu għall-iżvilupp tax-xjenza matematika ma tistax tinċaħad. Cusa, wieħed mill-ewwel mill-konsiderazzjoni ta 'aritmetika bħala l-xjenza aktar preċiż, matematika tqegħid tal-ħin in kwistjoni.

Fil matematiċi qedem kriterju universali kien unità, filwaqt li l-filosofu propost bħala miżura infinità ġdid jirritorna l-għadd eżatt. B'konnessjoni ma 'din ir-rappreżentanza maqlub ta' eżattezza fix-xjenza matematika. għarfien xjentifiku, fil-fehma tiegħu, huwa maqsum razzjonali u intelliġenti. It-tieni huwa iktar preċiż, skond il-xjenzat, peress li l-ex jagħti biss riżultati approssimattiv.

-idea

L-idea bażika u l-kunċett ta 'kalkulu differenzjali assoċjati mal-funzjoni fil-viċinat żgħir ta' ċerti punti. Għal dan huwa meħtieġ li tinħoloq apparat matematika li jiffunzjonaw studji li l-imġiba fil-viċinat żgħir ta 'punti installati qrib l-imġiba ta' funzjoni lineari jew polynomial. Ibbażat fuq din id-definizzjoni ta 'derivattiv u differenzjali.

Il-feġġ ta 'l-kunċett tad-derivat kien ikkawżat minn numru kbir ta' problemi ta 'xjenzi naturali u l-matematika, li wasslu għad-determinazzjoni tal-valuri ta' limitu tal-istess tip.

Wieħed mill-kompiti ewlenin li huma mogħtija bħala eżempju, li tibda bil-klassijiet fl-iskejjel eqdem, huwa li jiddetermina l-veloċità tal-moviment ta 'punt f'linja dritta u l-kostruzzjoni tal-linja tanġent għal din il-kurva. Id-differenzjal marbuta ma 'dan, peress li huwa possibbli li jiġu approssimati l-funzjoni fil-viċinat żgħir tal-punt ta' funzjoni lineari.

Meta mqabbel mal-kunċett ta derivattiv ta 'funzjoni ta' varjabbli reali, id-definizzjoni ta 'differenzjali sempliċement tgħaddi fuq il-funzjoni ta' natura ġenerali, b'mod partikolari l-immaġni ta 'spazju Euclidean għall-ieħor.

derivattiv

Ħalli l-jiċċaqlaq punt fid-direzzjoni tal-assi y, għaż-żmien nieħdu x, li huwa mkejjel mill-bidu ta 'mument. Jiddeskrivi tali moviment ikun possibbli mill-y funzjoni = f (x), li huwa assoċjat ma 'kull punt ta' żmien x jikkoordinaw punt displaceable. Din is-sejħa funzjoni fil-mekkanika biex jieħdu liġi ta 'mozzjoni. Il-karatteristika prinċipali tal-mozzjoni, partikolarment irregolari, hija l-veloċità istantanja. Meta l-punt huwa imċaqilqa ma tul l-assi y skond il-liġi tal-mekkanika, il-punt tal-ħin każwali hija takkwista jikkoordinaw x f (x). Fil-ħin punt x + Δh, fejn Δh jirrappreżenta l-inkrement ta 'żmien, se kordinaty f (x + Δh). ffurmat b'hekk formula Δy = f (x + Δh) - f (x), li hija imsejħa funzjoni inkrement. Huwa punt tal-passaġġ traversat waqt il-ħin minn x għal x + Δh.

B'konnessjoni ma 'l-okkorrenza tal-veloċità fil derivattiv ħin jingħata. -Derivattiv ta 'kwalunkwe funzjoni f'punt fiss imsejjaħ il-limitu (jekk wieħed jassumi li jeżisti). Hija tista 'tiġi riferita għal ċerti karattri:

f '(x), y ", ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

Il-proċess ta 'kalkolu tal derivattiv ta' divrenzjar sejħa.

kalkulu differenzjali tal-funzjonijiet ta 'varjabbli diversi

Dan il-metodu huwa applikat meta jiġu kkalkolati l-istudju funzjoni, varjabbli diversi. Meta jkun hemm żewġ fatturi varjabbli xuy, id-derivattiv parzjali fir-rigward x fil-punt A huwa msejjaħ il-derivattiv ta 'din il-funzjoni fil x ma' y fiss.

Jistgħu jkunu indikati bis-simboli li ġejjin:

f '(x) (x, y), u "(x), ∂u / ∂x u ∂f (x, y)" / ∂x.

ħiliet meħtieġa

Sabiex jitgħallmu b'suċċess u tkun tista 'ssolvi l-ħiliet diffury meħtieġa fl-integrazzjoni u d-differenzjazzjoni. Biex ikun aktar faċli li jifhmu l-ekwazzjonijiet differenzjali, għandha tinftiehem derivattivi suġġett u indefinit integrali. Ukoll ma tweġġa biex jitgħallmu li tfittex l-derivattiv tal-funzjoni impliċitu. Dan huwa dovut għall-fatt li fil-proċess ta 'tagħlim se spiss jużaw integrali u differenzjazzjoni.

Tipi ta 'ekwazzjonijiet differenzjali

Prattikament x-xogħol kollu ta 'kontroll assoċjati mal -ekwazzjonijiet differenzjali-ewwel ordni, hemm 3 tipi ta' ekwazzjonijiet: omoġenji, bi varjabbli separabbli, inhomogeneous lineari.

Hemm ukoll aktar rari ekwazzjonijiet speċi bil differenzjali totali, ekwazzjoni Bernoulli, u oħrajn.

prinċipji fundamentali soluzzjonijiet

Biex tibda, għandna niftakru huwa ekwazzjoni alġebrin ta 'kors skola. Dawn jinkludu l-varjabbli u numri. Sabiex issolvi l-ekwazzjoni konvenzjonali għandha ssib ħafna ta 'numri li jissodisfaw kundizzjoni speċifikat. Tipikament, dawn l-ekwazzjonijiet għandhom għeruq waħda, u ta 'validazzjoni għandhom jissostitwixxu biss dan il-valur fil-post magħruf.

L-ekwazzjoni differenzjali huwa simili għal dan. B'mod ġenerali, l-ekwazzjoni tal-ewwel ordni jinkludi:

• varjabbli indipendenti.
• Derivattiv ta 'l-ewwel funzjoni.
• Funzjoni jew varjabbli dipendenti.

F'xi każijiet, jista 'jkun hemm l-ebda wieħed mhux magħrufa, x jew y, iżda mhuwiex importanti daqs huwa neċessarju li jkollhom l-ewwel derivattiv, bl-ebda derivattivi ordni ogħla lill-soluzzjoni u l-kalkulu differenzjali kienu vera.

Issolvi l-ekwazzjoni differenzjali - dan ifisser li ssib is-sett ta 'funzjonijiet kollha li huma espressjoni partikolari xierqa. Tali settijiet ta 'funzjonijiet huwa spiss imsejjaħ il-kontroll soluzzjoni ġenerali.

kalkulu integrali

kalkulu integrali hija waħda mit-taqsimiet ta 'analiżi matematika, li jeżamina l-kunċett ta' integrali, proprjetajiet u metodi ta 'kalkolu tagħha.

Spiss il-kalkolu tal-integrali iseħħ meta jiġi kkalkulat il-qasam ta 'forma kurvilineari. Permezz ta 'din tfisser żona limitu, lejn li żona predeterminat tal-forma poligonu iskritti ma' żieda gradwali fl-idejn tiegħu, u n-naħa tad-dejta jista 'jsir anqas minn kull valur żgħir arbitrarja speċifikat qabel.

L-idea prinċipali fil-kalkolu taż-żona ta 'kwalunkwe forma ġeometrika hija kalkolu taż-żona ta' rettangolu, allura hemm evidenza li żona tagħha hija ugwali għall-prodott tat-tul mill-wisa '. Meta niġu għall-ġeometrija, allura l-kostruzzjonijiet huma magħmula bl-użu ta 'riga u kumpass, u allura l-proporzjon ta' tul għal wisa huwa valur razzjonali. Meta tiġi kkalkulata l-erja ta 'trijanglu dritt jista' jiġi determinat li jekk inti tpoġġi trijanglu jmiss, rettangolu hija ffurmata. Fil-qasam tal-parallelogram huma kkalkulati fuq metodu simili iżda ftit aktar kumplikata, fi ħdan rettangolu u trijangolu. Fil-qasam ta 'polygon huwa meqjus mill triangoli inklużi fiha.

Fid-determinazzjoni tal-ħniena ta 'arbitrarja, dan il-metodu ma jinstallax il-kurva. Jekk aħna jitkisser fi kwadri individwali, se jibqa postijiet vojta. F'dan il-każ, jippruvaw jużaw żewġ kowtijiet, ma rettangoli fuq u taħt, bħala riżultat ta 'dawk jinkludu l-graff tal-funzjoni u ma tinkludix. Importanti hawnhekk huwa mod biex jiksru dawn rettangoli. Ukoll, jekk nieħdu l-waqfa aktar u aktar mnaqqsa, iż-żona tal-quċċata u isfel għandhom jikkonverġu fuq ċertu valur.

Għandu ritorn lejn metodu għas-separazzjoni fis rettangoli. Hemm żewġ metodi popolari.

Riemann kien formalizzat definizzjoni tal-integrali, maħluqa minn Newton u Leibniz, bħala ż-żona ta 'subgraph. F'dan il-każ, aħna kkunsidrat bħala figura li jikkonsisti ta 'ċertu numru ta' rettangoli vertikali miksuba billi tiddividi l-intervall. Meta tkissir tnaqqis hemm limitu li għalih l-erja mnaqqsa ta 'tali figura, dan il-limitu huwa msejjaħ il-integrali Riemann ta' funzjoni f'intervall speċifikat.

It-tieni metodu huwa biex jinbena l-Lebesgue integrali, li jikkonsisti fil-fatt li fil-post ta 'separazzjoni żona nominata fuq parti mill-integrand u l-kumpilazzjoni mbagħad s-somma integrali tal-valuri miksuba f'dawn il-partijiet, f'intervalli maqsuma firxa tagħha ta' valuri, u mbagħad magħduda mal-miżuri korrispondenti immaġini invers ta 'dawn l-integrali.

għajnuniet moderni

Wieħed mill-benefiċċji ewlenin għall-istudju ta 'differenzjali u kalkulu integrali Fikhtengol'ts kiteb - "tal-differenzjali u kalkulu integrali." textbook tiegħu huwa għodda fundamentali għall-istudju ta 'analiżi matematika, li withstood ħafna edizzjonijiet u traduzzjonijiet f'lingwi oħra. Maħluqa għall-istudenti u għal żmien twil jintużaw f'varjetà ta 'istituzzjonijiet edukattivi bħala wieħed mill-benefiċċji ewlenin tal-istudju. Hija tagħti informazzjoni teoretiku u l-ħiliet prattiċi. Ewwel ippubblikat fl-1948.

funzjoni riċerka Algoritmu

Biex tesplora l-metodi ta 'funzjoni differenzjali kalkulu, għandek bżonn biex isegwu huwa diġà mogħti algoritmu:

1. Sib il-qasam tal-funzjoni.
2. Sib l-għeruq ta 'l-ekwazzjoni partikolari.
3. Ikkalkula l-estremi. Biex tagħmel dan, aħna jikkalkulaw-derivattiv u l-punt fejn hija ugwali għal żero.
4. Aħna jissostitwixxi l-valur miksub fl eq.

Varjetajiet ta 'ekwazzjonijiet differenzjali

Kontroll ta 'l-ewwel ordni (mod ieħor, kalkulu differenzjali ta' varjabbli waħda) u tipi tagħhom:

• Bil varjabbli separabbli ekwazzjoni: f (y) dy = ġ (x) dx.
• L-aktar sempliċi ekwazzjoni jew differenzjali funzjoni kalkulu tal-varjabbli waħda, li jkollhom il-formula: y "= f (x).
• Il lineari l-ewwel ordni kontroll nonuniform: y "+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli ekwazzjoni differenzjali: y "+ P (x) y = Q (x) y a.
• Ekwazzjoni differenzjali totali ma: P (x, y) Q (x, y) dy = 0 dx +.

L-ekwazzjonijiet differenzjali tat-tieni ordni u t-tipi tagħhom:

• Omoġenju lineari ekwazzjoni tieni ordni differenzjali ^{bil-koeffiċjenti kostanti: y n + PY "+ QY} = 0 p, q jappartjeni R.
• Inhomogeneous lineari tieni ordni ekwazzjoni differenzjali ^b'valur koeffiċjenti ^{kostanti: y n + PY "+ QY} = f (x).
• Omoġenju lineari differenzjali ^{ekwazzjoni: y n + p (x)} y "+ q (x) y = 0, u inhomogeneous tieni ^{ekwazzjoni ordni: y n + p (x)} y" + q (x) y = f (x).

ekwazzjonijiet differenzjali ta 'ordnijiet ogħla u t-tipi tagħhom:

• L-ekwazzjoni differenzjali, li jippermetti tnaqqis ^{tal-ordni: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• A ekwazzjoni lineari ta 'ordni ogħla ^{_{omoġenju: y (n) + f (}} n ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y "+ f ₀ y = 0, u ^{_{inhomogeneous: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y "+ f ₀ y = f (x).

Stadji ta 'tissolva l-problema bil-ekwazzjoni differenzjali

Bl-għajnuna ta 'kontroll mill-bogħod huma solvuti mhux biss matematika jew problemi fiżiċi, iżda wkoll il-problemi varji tal-bijoloġija, l-ekonomija, is-soċjoloġija u oħrajn. Minkejja l-varjetà wiesgħa ta 'suġġetti, għandu jsegwi sekwenza loġika waħda biex isolvu dawn il-problemi:

1. It-tfassil ta 'kontroll. Wieħed mill-istadji l-aktar diffiċli, li teħtieġ preċiżjoni massima, minħabba li kwalunkwe żball se jwassal għal riżultati kompletament żbaljata. Huwa meħtieġ li jitqiesu l-fatturi kollha li jaffettwaw il-proċess u ma jistabbilixxux kondizzjonijiet inizjali. Għandu wkoll tkun ibbażata fuq fatti u l-konklużjonijiet loġiċi.
2. Għal soluzzjoni ta 'ekwazzjonijiet. Dan il-proċess huwa aktar faċli li l-ewwel punt, minħabba li jeħtieġ biss l-implimentazzjoni stretta ta 'kalkoli matematiċi.
3. Analiżi u valutazzjoni tar-riżultati. Soluzzjoni derivati għandhom jiġu vvalutati għall-installazzjoni ta 'valur prattiku u teoretiku tar-riżultat.

Eżempju tal-użu ta 'ekwazzjonijiet differenzjali fil-mediċina

Uża l-kontroll mill-bogħod fil-qasam tal-mediċina tinsab fil-kostruzzjoni tal-mudell matematiku epidemjoloġika. M'għandniex ninsew li dawn l-ekwazzjonijiet jinstabu wkoll fil-bijoloġija u kimika, li huma qrib il-mediċina, għax dawn għandhom rwol importanti l-istudju tal-popolazzjonijiet bijoloġiċi differenti u proċessi kimiċi fil-ġisem uman.

F'dan l-eżempju, il-firxa epidemija ta 'infezzjoni jista' jiġi ttrattat komunità iżolati. L-abitanti huma maqsuma fi tliet tipi:

• Infettat, in-numru ta 'x (t), li kien jikkonsisti individwi, trasportaturi infettivi, li kull wieħed minnhom huwa infettiv (perjodu ta' inkubazzjoni hu qasir).
• It-tieni tip jinkludi individwi suxxettibbli y (t), jistgħu jiġu infettati minn kuntatt ma infettati.
• It-tielet tip jinkludi individwi refrattarji z (t), li huma immuni jew mitlufa minħabba mard.

Numru ta 'individwi kontinwament, iż-żamma twelid, imwiet naturali u l-migrazzjoni mhix meqjusa. Fil-qalba se jkun hemm żewġ ipoteżijiet.

mard fil-mija f'xi punt mument hija ugwali għal x (t) y (t) (suppożizzjoni bbażata fuq teorija li n-numru ta 'każijiet fi proporzjon għan-numru ta' intersezzjonijiet bejn il-pazjenti u l-membri jirrispondu, li fl-ewwel approssimazzjoni hija proporzjonali għall x (t) y (t)), b'mod għalhekk in-numru ta 'każijiet qed jiżdied, u n-numru ta' tnaqqis suxxettibbli b'rata li tiġi kkalkulata billi l-mannara tal-formula (t) y (t) (a> 0).

Numru ta 'annimali mhux responders li mietu jew akkwistat immunità, żdiedu b'rata li huwa proporzjonali għan-numru ta' każijiet, bx (t) (b> 0).

Bħala riżultat, inti tista 'twaqqaf sistema ta' ekwazzjonijiet ma 'l-tliet indikaturi fuq il-bażi tal-konklużjonijiet tagħha.

użu EŻEMPJU ekonomija

kalkulu differenzjali hija frekwentament użata fl-analiżi ekonomika. Il-kompitu prinċipali fl-analiżi ekonomika huwa meqjus li jkun l-istudju tal-valuri tal-ekonomija, li huma rreġistrati fil-forma tal-funzjoni. Huwa użat biex jissolvew problemi bħal tibdil fl żidiet taxxa tad-dħul immedjatament wara, tariffi tad-dħul, bidliet fid-dħul meta jinbidlu l-valur tal-prodott, f'liema proporzjon jistgħu jiġu mibdula mill-impjegati li rtiraw, minn tagħmir ġdid. Biex issolvi problemi bħal dawn, huwa meħtieġ li jinbena funzjoni ta 'komunikazzjoni tal-varjabbli deħlin, li, wara li jkunu studjati mill kalkulu differenzjali.

spiss ikun meħtieġ biex isibu l-aktar ottimali prestazzjoni fl-isfera ekonomika: produttività massima, l-ogħla dħul, inqas spejjeż u l-bqija. Kull tali komponent huwa funzjoni ta 'argumenti wieħed jew aktar. Per eżempju, il-produzzjoni tista 'titqies bħala funzjoni ta' xogħol u kapital. F'dan ir-rigward, il-konstatazzjoni valur adattat jista 'jitnaqqas għal konstatazzjoni tal-massimu jew minimu ta' funzjoni ta 'varjabbli waħda jew aktar.

Problemi bħal dawn joħolqu klassi ta 'problemi estremali fil-qasam ekonomiku, li għalihom għandek bżonn kalkulu differenzjali. Meta l-indikatur ekonomiċi meħtieġ biex jimminimizzaw jew timmassimizza bħala funzjoni ta 'parametri oħra, il-proporzjon inkrement funzjoni punt massimu għall-argumenti għandu t-tendenza għal żero jekk il-inkrement tal-argument tendenza għal żero. Inkella, meta tali attitudni tendenza li ċertu valur pożittiv jew negattiv, il-punt speċifikat mhuwiex adattat, għaliex billi jżidu jew inaqqsu l-argument jista 'jinbidel valur dipendenti fid-direzzjoni mixtieqa. Fit-terminoloġija differenzjali kalkulu, dan ikun ifisser li l-kundizzjonijiet meħtieġa għall-funzjoni massimu huwa valur żero ta 'derivattiv tagħha.

L-ekonomija mhix problema komuni tal-konstatazzjoni tal-extremum ta 'funzjoni ta' varjabbli diversi, għaliex indikaturi ekonomiċi huma magħmula minn ħafna fatturi. Kwistjonijiet bħal dawn huma mifhuma sew fit-teorija tal-funzjonijiet ta 'varjabbli diversi, il-metodu tal-kalkolu tal differenzjali. Problemi bħal dawn jinkludu mhux biss tilħaq il-massimu u l-funzjoni minimizzata, iżda wkoll limitazzjonijiet. Dawn il-mistoqsijiet għandhom x'jaqsmu ma 'l-ipprogrammar matematika, u dawn jiġu solvuti bl-għajnuna ta' metodi żviluppati apposta huma bbażati wkoll fuq din il-fergħa tax-xjenza.

Fost il-metodi tal-kalkulu differenzjali użati fl-ekonomija, taqsima importanti huwa t-test aħħari. Fl-isfera ekonomika, it-terminu jirreferi għal sett ta 'metodi ta' riċerka ta 'prestazzjoni varjabbli u r-riżultati meta inti tbiddel il-volum tal-ħolqien, il-konsum, ibbażat fuq analiżi tal-valuri ta' limitu tagħhom. Il-limitazzjoni indikazzjoni meqjusa derivattivi jew id-derivattivi parzjali ma 'diversi varjabbli.

kalkulu differenzjali ta 'diversi varjabbli - suġġett importanti ta' analiżi matematiċi. Għal studju dettaljat, tista 'tuża varjetà ta' materjal pedagoġiku għall-istituzzjonijiet ta 'edukazzjoni ogħla. Wieħed mill-Fikhtengol'ts maħluqa aktar famużi - "tal-differenzjali u kalkulu integrali." Kemm ta 'l-isem għas-soluzzjoni ta' ekwazzjonijiet differenzjali ta 'importanza konsiderevoli li jkollhom il-ħiliet biex jaħdmu ma integrali. Meta jkun hemm kalkulu differenzjali ta 'funzjonijiet ta' varjabbli waħda, id-deċiżjoni isir aktar faċli. Għalkemm, għandu jiġi osservat, minn dan jirriżulta l-istess regoli bażiċi. Fil-prattika, biex tinvestiga l-funzjoni tal-kalkulu differenzjali, kemm issegwi l-algoritmu diġà eżistenti, li hija mogħtija fl-iskola għolja, u biss ftit kumplikata bl-introduzzjoni ta 'varjabbli ġodda.