Sistema ta 'ekwazzjonijiet alġebrin lineari. sistema omoġenja ta 'ekwazzjonijiet alġebrin lineari

Fl-iskola, li kull wieħed minna studjati l-ekwazzjoni u, ċertament, is-sistema ta 'ekwazzjonijiet. Imma ħafna nies ma jafux li hemm diversi modi biex isolvuhom. Illum se naraw eżattament l-metodi sabiex isolvi sistema ta 'ekwazzjonijiet alġebrin lineari, li huma komposti minn aktar minn żewġ ekwazzjonijiet.

istorja

Illum nafu li l-arti ta 'soluzzjoni ta' ekwazzjonijiet u s-sistemi tagħhom oriġinaw fl Babylon qedem u l-Eġittu. Madankollu, l-ugwaljanza fil-forma familjari tagħhom dehru lilna wara l-okkorrenza tas-sinjal ugwali "=", li ġiet introdotta fl-1556 mill-rekord matematiku Ingliż. Mill-mod, dan is-simbolu kienet magħżula għal raġuni: dan ifisser żewġ segmenti ugwali paralleli. Tabilħaqq, l-aħjar eżempju ta 'ugwaljanza ma toħroġ.

Il-fundatur ta 'ittri moderna u simboli li juru safejn dawn mhux magħrufa, il-matematiku Franċiż Fransua Vjet. Madankollu, id-denominazzjoni tagħha hija differenti sew mil-lum. Per eżempju, kwadru ta 'numru mhux magħruf hu magħżul mill-ittra Q (lat "quadratus".), U l-kubu - (. Lat "cubus") l-ittra Ċ. Dawn is-simboli issa jidher skomdu, iżda mbagħad kien l-aktar mod intuwittivi biex jiktbu sistema ta 'ekwazzjonijiet alġebrin lineari.

Madankollu, żvantaġġ fil-metodi prevalenti ta 'soluzzjoni kienet li matematiċi kkunsidrati biss l-għeruq pożittivi. Forsi dan huwa minħabba l-fatt li l-valuri negattivi m'għandhom l-ebda applikazzjoni prattika. B'xi mod jew ieħor, iżda l-ewwel li għandhom jiġu kkunsidrati għeruq negattivi beda wara l-matematika Taljan Niccolo Tartaglia, Ġlormu Cardano u Raphael Bombelli fis-seklu 16. Ħarsa moderna, il-metodu ewlieni ta 'soluzzjoni ta ' ekwazzjonijiet kwadratiċi (permezz discriminant) ġie stabbilit biss fis-seklu 17 permezz tal-xogħlijiet ta 'Descartes u Newton.

Fin-nofs tal-matematiku Svizzeru seklu 18 Gabriel Cramer sabu mod ġdid biex tagħmel is-soluzzjoni ta 'sistemi ta' ekwazzjonijiet linjari aktar faċli. Dan il-metodu kien tard msemmi għal warajh, u din il-ġurnata nużawha. Imma fuq il-metodu ta 'diskussjoni Kramer ta ftit aktar tard, iżda għal issa aħna ser jiddiskutu ekwazzjonijiet linjari u s-soluzzjonijiet tagħhom b'mod separat mis-sistema.

ekwazzjonijiet linjari

ekwazzjonijiet linjari --ekwazzjoni sempliċi varjabbli (i). Dawn jappartjenu għall-algebra. ekwazzjonijiet linjari miktub fil-forma ġenerali kif ġej: _'1 * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... _un * x _n = b. Sottomissjoni ta 'din il-formola ser ikollna bżonn fil-preparazzjoni ta' sistemi u matriċijiet fuq.

Sistema ta 'ekwazzjonijiet alġebrin lineari

Id-definizzjoni ta 'dan it-terminu huwa: sett ta' ekwazzjonijiet li għandhom mhux magħrufa komuni u s-soluzzjoni ġenerali. Tipikament, fl-iskola kollha solvuti sistema b'żewġ jew saħansitra tlieta ekwazzjonijiet. Iżda hemm sistemi b'erba jew aktar mill-komponenti. Ejja ara l-ewwel kif jiktbu them down hekk li aktar tard kien konvenjenti li ssolvi. L-ewwelnett, is-sistema ta 'ekwazzjonijiet alġebrin linjari se tħares aħjar jekk il-varjabbli kollha huma miktuba bħala x mal-indiċi korrispondenti: 1,2,3 u l-bqija. It-tieni, għandu jwassal l-ekwazzjonijiet għall-forma canonical: _'1 * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... _un * x _n = b.

Wara dawn il-passi kollha, nistgħu jibdew jgħidlek kif ssib is-soluzzjoni ta 'sistemi ta' ekwazzjonijiet linjari inti. ħafna għal dak se jidħlu fil-matriċi handy.

matriċi

Matriċi - tabella li jikkonsisti ringieli u kolonni, u l-elementi tiegħu huma fil intersezzjoni tagħhom. Dan jista 'jkun jew valur speċifiku jew varjabbli. F'ħafna każijiet, li jinnominaw elementi li huma rranġati taħt l subscripts (eż, għal ₁₁ jew ₂₃ ukoll). L-ewwel indiċi tindika n-numru ringiela, u t-tieni - l-kolonna. matriċi ta 'hawn fuq kif hawn fuq u kull element matematika oħra jistgħu jwettqu operazzjonijiet varji. Għalhekk, inti tista ':

1) Naqqas u żid l-istess daqs tat-tabella.

2) Immoltiplika l matriċi għal kwalunkwe numru jew vector.

3) Jittrasponu: jittrasformaw linji matriċi fil-kolonni, u l-kolonni - fil-linja.

4) Immoltiplika-matriċi, jekk in-numru ta 'ringieli hija ugwali għal wieħed minnhom numru differenti ta' kolonni.

Biex jiddiskuti fid-dettall kollha ta 'dawn it-tekniki, peress li huma utli għalina fil-futur. Tnaqqis u żieda ta 'matriċi hija sempliċi ħafna. Minħabba li aħna jieħdu l-istess matriċi daqs, kull element ta 'tabella waħda huwa relatat ma' kull element ieħor. Għalhekk aħna żid (naqqas) tnejn minn dawn l-elementi (huwa importanti li dawn kienu wieqfa fuq l-istess art fil matriċi tagħhom). Meta moltiplikata bin-numru ta 'matriċi jew vettur inti sempliċiment immoltiplika kull element tal-matriċi billi dak in-numru (jew vector). Traspożizzjoni - proċess interessanti ħafna. Interessanti ħafna kultant biex tara lilu fil-ħajja reali, per eżempju, meta jinbidlu l-orjentazzjoni ta 'pillola jew telefon. L-ikoni fuq il-desktop huwa matriċi, u bil-bidla fil-pożizzjoni, huwa trasposta u ssir usa ', iżda tnaqqis fil-għoli.

Let us teżamina aktar proċess bħal matriċi multiplikazzjoni. Għalkemm huwa qalilna, u mhuwiex utli, iżda jkunu konxji għadu utli. Immoltiplika żewġ matriċi jista 'jkun biss bil-kundizzjoni li n-numru ta' kolonni tabella waħda hija ugwali għan-numru ta 'ringieli oħra. Issa jieħdu elementi linja matriċi wieħed u elementi oħra tal-kolonna korrispondenti. Timmultiplikahom għal kull somma oħra u mbagħad (jiġifieri, per eżempju, prodott ta 'elementi ₁₁ u ₁₂ u _fil-12 bu ₂₂ b se jkun ugwali għal: a * b _{11 12} + ₁₂ * bu _22). Għalhekk, oġġett f'tabella waħda, u metodu simili għaliha hija mimlija aktar.

Issa nistgħu jibdew jikkunsidraw kif se ssolvi sistemi ta 'ekwazzjonijiet linjari.

Gauss

Din it-tema bdiet tieħu post fl-iskola. Nafu tajjeb ħafna l-kunċett ta ' "sistema ta' żewġ ekwazzjonijiet linjari" u jkunu jafu kif biex isolvuhom. Imma x'jiġri jekk in-numru ta 'ekwazzjonijiet huwa akbar minn tnejn? Dan għandu jgħina metodu Gauss.

Naturalment, dan il-metodu huwa konvenjenti għall-użu, jekk inti tagħmel matriċi tas-sistema. Imma int ma tista 'tikkonverti dan u tiddeċiedi fuq tagħha stess.

Allura, kif se ssolvi lilha minn sistema ta 'ekwazzjonijiet linjari Gauss? Mill-mod, anki jekk dan il-metodu u msemmi għal warajh, iżda skoprewha fi żminijiet antiki. Gauss għandu operazzjoni mwettqa bil-ekwazzjonijiet, li eventwalment tirriżulta fil-totalità forma Echelon. Dan huwa, inti għandek bżonn fuq għal isfel (jekk jitqiegħed f'postu korrettament) mill-ewwel għall-aħħar ekwazzjoni waned wieħed magħruf. Fi kliem ieħor, għandna bżonn li jiġi żgurat li konna ltqajna, jiġifieri tliet ekwazzjonijiet: l-ewwel - tliet mhux magħrufa, fit-tieni - tnejn fil-tielet - wieħed. Imbagħad, mill-aħħar ekwazzjoni, insibu l-ewwel magħrufa, tissostitwixxi valur tagħha fit-tieni jew l-ewwel ekwazzjoni, u ssib aktar żewġ varjabbli fadal.

regola Cramer

Għall-iżvilupp ta 'din it-teknika huwa vitali sabiex jakkwistaw ħiliet ta' żieda, it-tnaqqis ta 'matriċi, kif ukoll il-ħtieġa li tkun tista' ssib determinanti. Għalhekk, jekk inti skomda tagħmel dan kollu jew ma jafux kif, huwa neċessarju li wieħed jitgħallem u jkunu mħarrġa.

X'inhu l-essenza ta 'dan il-metodu, u kif jagħmlu dan, biex tikseb sistema ta' ekwazzjonijiet linjari Cramer? Huwa sempliċi ħafna. Għandna bżonn li tinbena matriċi ta 'numri (kważi dejjem)-koeffiċjenti ta' sistema ta 'ekwazzjonijiet alġebrin lineari. Biex tagħmel dan, sempliċiment ħu n-numru ta 'li mhux magħruf, u aħna tirranġa tabella fl-ordni li huma rreġistrati fis-sistema. Jekk qabel in-numru huwa sinjal "-", allura aħna tikteb koeffiċjent negattiv. Allura, għamilna l-ewwel matriċi tal-koeffiċjenti ta 'l-mhux magħrufa, li ma jinkludux in-numru wara s-sinjal ugwali (naturalment, li l-ekwazzjoni għandha titnaqqas għall-forma canonical meta d-dritt huwa biss numru, u fuq ix-xellug - l-mhux magħrufa bil-koeffiċjenti). Imbagħad inti għandek bżonn tagħmel xi matriċi ftit - wieħed għal kull varjabbli. Għal dan il-għan, fl-ewwel matriċi huwa sostitwit b'dan kolonna waħda kull numri kolonna mal-koeffiċjenti wara s-sinjal ugwali. Għalhekk aħna jiksbu matriċi ftit u mbagħad isibu determinanti tagħhom.

Wara sibna l-kwalifiki, huwa żgħir. Għandna matriċi inizjali, u hemm diversi matriċi derivati, li jikkorrispondu għall-varjabbli differenti. Biex tikseb soluzzjoni sistema, aħna jaqsam l-element determinanti tal-mejda li jirriżulta fuq il-fattur determinanti primarju tat-tabella. In-numru li jirriżulta huwa l-valur ta 'varjabbli waħda. Bl-istess mod, insibu l-mhux magħrufa.

metodi oħra

Hemm bosta metodi sabiex tinkiseb is-soluzzjoni ta 'sistemi ta' ekwazzjonijiet linjari. Per eżempju, l-hekk imsejħa metodu Gauss-Ġordan, li huwa użat għall sejba ta 'soluzzjonijiet tas-sistema ta' ekwazzjonijiet kwadratiċi, u wkoll tirrigwarda l-użu ta 'matriċi. Hemm ukoll metodu Jacobi sabiex isolvi sistema ta 'ekwazzjonijiet alġebrin lineari. Huwa faċilment jadatta għall-kompjuters kollha u huwa użat fil-kalkolu.

każijiet ikkumplikati

Kumplessità normalment iseħħ jekk in-numru ta 'ekwazzjonijiet huwa inqas min-numru ta' varjabbli. Imbagħad nistgħu ċertament ngħidu li, jew is-sistema tkun inkonsistenti (jiġifieri, m'għandha l-ebda għeruq), jew in-numru ta 'deċiżjonijiet tagħha t-tendenza li infinity. Jekk aħna għandna l-tieni każ - huwa meħtieġ li tikteb is-soluzzjoni ġenerali tas-sistema ta 'ekwazzjonijiet linjari. Dan se jinkludi varjabbli mill-inqas wieħed.

konklużjoni

Hawnhekk aħna waslu fit-tmiem. Fil-qosor: irridu nifhmu x'inhi l-matriċi sistema, tgħallmu ssib is-soluzzjoni ġenerali ta 'sistema ta' ekwazzjonijiet linjari. Barra minn hekk aħna kkunsidrati għażliet oħra. Aħna dehret kif se ssolvi sistemi ta 'ekwazzjonijiet linjari: eliminazzjoni Gaussian u regola Cramer. Tkellimna dwar każijiet diffiċli u modi oħra ta 'sejba ta' soluzzjonijiet.

Fil-fatt, din il-kwistjoni hija ħafna aktar estensiva, u jekk inti tixtieq li jifhmu aħjar dan, aħna jagħtik parir biex taqra aktar tal-letteratura speċjalizzata.