Maclaurin u dekomposizzjoni ta 'xi funzjonijiet

Jistudjaw il-matematika avvanzata għandhom ikunu konxji li s-somma ta 'serje enerġija fl-intervall ta' konverġenza ta 'numru minna, huwa numru kontinwu u illimitat ta' drabi funzjoni differenzjat. Tqum il-mistoqsija: huwa possibbli li wieħed jargumenta li minħabba funzjoni arbitrarja f (x) - hija s-somma ta 'sensiela ta' enerġija? Dan huwa, taħt liema kondizzjonijiet il-f-zjonijiet (x) f jista 'jiġi rappreżentat minn serje enerġija? L-importanza ta 'din il-kwistjoni hija li huwa possibbli li tinbidel madwar £ Teoloġika f (x) huwa s-somma ta' l-ewwel ftit termini ta 'sensiela ta' enerġija, li hija polinomjali. Tali funzjoni sostituzzjoni huwa pjuttost sempliċi espressjoni - polynomial - huwa konvenjenti u fis-soluzzjoni ċerti problemi fl-analiżi matematika, jiġifieri sabiex issolvi integrali fil-kalkolu ekwazzjonijiet differenzjali , eċċ ...

Dan huwa ppruvat, li għal xi-f ii f (x), fejn id-derivattivi tal-(n + 1) Sabiex -th tista 'tiġi kkalkulata, inkluża l-aħħar fil-viċinanza ta' (α - R; x ₀ + R) ta 'punt x = α-formula ġust huwa:

Din il-formula huwa msemmi għall-xjenzat famużi Brooke Taylor. Numru tagħha tkun ġejja minn ta 'qabilha, huwa msejjaħ serje Maclaurin:

A regola li jagħmilha possibbli li tipproduċi espansjoni f'serje Maclaurin:

1. Iddetermina derivattivi ta 'l-ewwel, it-tieni, it-tielet, ... ordni.
2. Ikkalkula liema huma derivati fil x = 0.
3. Rekord Maclaurin serje għall din il-funzjoni, u mbagħad li jiddetermina l-intervall ta 'konverġenza.
4. Iddetermina intervall (-R; R), fejn il-parti residwa ta 'formula Maclaurin

R _n (x) -> 0 għal n -> infinità. Jekk waħda jeżisti, il-funzjoni f (x) għandu jkun ugwali għas-somma tas-serje Maclaurin.

Ikkunsidra issa l-serje Maclaurin għall-funzjonijiet individwali.

1. B'hekk, l-ewwel li f (x) = e ^x. Of course, li l-karatteristiċi tagħhom hekk f 'Ia tkun derivata varjetà ta' ordnijiet, u f ^{(k) (x)} = e ^x, fejn k huwa daqs l -numri naturali. Sostitut x = 0. Aħna jiksbu f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Ibbażat fuq dak li ntqal qabel, numru ta 'e ^x Dan se jkun kif ġej:

2. Serje Maclaurin għall-funzjoni f (x) = sin x. Immedjatament jispeċifikaw li f 'zjonijiet għad-derivati mhux magħrufa kollha se jkollhom, minbarra ^{f' (x)} = cos x = dnub (x + m / 2), ^{f '' (x)} = -sin x = dnub (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), fejn il-k hija ugwali għal kull numru sħiħ pożittiv. Dan huwa, jsiru l-kalkoli sempliċi, nistgħu nikkonkludu li l-serje għall f (x) = sin x se jkun bħal dan:

3. Issa ejja jikkunsidraw iju f 'f (x) = cos x. Huwa magħruf għall-derivati kollha ta 'ordni arbitrarja, u ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Għal darb'oħra, huwa wara li għamlet xi kalkoli, insibu li s-serje għall f (x) = cos x se teżamina bħal dan:

Allura, aħna għandna elenkati l-karatteristiċi l-aktar importanti li tista 'tiġi estiża f'serje Maclaurin, iżda jikkumplimentaw l-serje ta' Taylor għal xi funzjonijiet. Issa aħna se lista lilhom ukoll. Għandu wkoll jiġi nnotat li serje ta 'Taylor u serje Maclaurin huma parti importanti mis-serje workshop ta' deċiżjonijiet fil-matematika ogħla. Allura, serje ta 'Taylor.

1. L-ewwel hija serje ta 'f ii f (x) = ln (1 + x). Bħal fil-eżempji ta 'qabel, għal dan aħna f (x) = ln (1 + x) jistgħu jiġu mitnija numru, permezz tal-formola ġenerali ta' serje Maclaurin. iżda għal din il-karatteristika Maclaurin jistgħu jinkisbu ferm aktar faċli. L-integrazzjoni ta 'serje ġeometrika, irridu jiksbu numru ta f (x) = ln (1 + x) tal-kampjun:

2. U t-tieni, li se tkun finali f'dan l-artikolu, se jkun serje għall f (x) = arctg x. Għal x jappartjenu lill-intervall [-1; 1] hija dekompożizzjoni valida:

Li kollox. F'dan l-artikolu I mistħarrġa l-serje ta 'Taylor aktar użati u serje Maclaurin fil-matematika ogħla, b'mod partikolari fil-kulleġġi ekonomiċi u tekniċi.