Numri tad-Derivati: metodi li jikkalkolaw u eżempji

Forsi l-kunċett ta 'derivattiv huwa familjari għalina lkoll peress iskola għolja. Normalment istudenti ma jifhmux dan huwa bla dubju ħaġa importanti ħafna. Huwa użat b'mod attiv f'diversi oqsma tal-ħajja tan-nies, u l-inġinerija ħafna kienu bbażati preċiżament fuq kalkoli matematiċi miksuba mid-derivattiv. Iżda qabel ma jipproċedu għal analiżi ta 'dak li hija derivattiva ta' numri kif jikkalkulaw u fejn se jidħlu fil handy, wieħed jidħol ftit fis-istorja.

istorja

Il-kunċett ta derivattiv, li hija l-bażi ta 'analiżi matematika, kien miftuħ (anki aħjar li jgħidu "ivvintat" minħabba li huwa, bħala tali, ma jeżistu fin-natura) Isaakom Nyutonom, li aħna lkoll nafu mill-iskoperta tal-liġi tal-gravità. Kien hu li l-ewwel użata dan il-kunċett fil-fiżika għall-natura vinkolanti tal-veloċità u l-aċċelerazzjoni tal-korpi. U ħafna xjentisti xorta tifħir Newton għal din l-invenzjoni magnífico, għaliex fil-fatt huwa inventat-bażi ta differenzjali u kalkulu integrali, il-bażi fattwali tal-qasam kollu tal-matematika imsejħa "analiżi matematika". Jekk fiż-żmien l-Premju Nobel, Newton probabbli kien jirċievi xi ftit drabi.

Mhux mingħajr imħuħ kbar oħra. Minbarra l Newton fuq l-iżvilupp ta 'ħadmu dawn geniuses eminenti derivattivi u integrali tal-matematika bħala Leonhard Euler, Lagrange u Louis Gotfrid Leybnits. Huwa grazzi lilhom aħna għandna l-teorija ta ' kalkulu differenzjali fil-forma li fiha teżisti sal-lum. Inċidentalment, dan huwa Leibniz skoprew it-tifsira ġeometrika tad-derivattiv, li kienet xejn aktar minn l-inklinazzjoni tal-tanġent għat-graff tal-funzjoni.

X'inhu derivattiva ta 'numri? irrepeti daqsxejn dak li ġara fl-iskola.

X'inhu derivattiv?

Iddefinixxi dan il-kunċett fil-modi differenti. L-ispjegazzjoni sempliċi: Derivattivi - huwa r-rata tal-funzjoni bidla. Jirrappreżentaw il-graff ta 'kwalunkwe y funzjoni ta' x. Jekk ma jkunx dritta, għandha xi kurvi fil-graff, il-perjodi ta 'żieda u tnaqqis. Jekk tieħu xi intervall infiniteżmali tal-iskeda, se jkun segment linja dritta. Allura, il-proporzjon tad-daqs ta 'segment infiniteżmali tal-y għad-daqs tal-x jikkoordinaw, u se jkun derivattiv tal-funzjoni f'punt partikolari. Jekk inqisu li l-funzjoni kollha kemm hi, iktar milli t-punt speċifiku, irridu jiksbu funzjoni tad-derivattiv, jiġifieri ċertu dipendenza fuq il-y X.

Barra minn hekk, apparti mill-tifsira fiżika tal-derivattiv bħala funzjoni tar-rata tal-bidla, hemm ukoll sens ġeometrika. Fuqha, aħna issa jiddiskutu.

It-tifsira ġeometrika

Derivati numri nfushom ċertu numru li mhuwiex fehim tajjeb ma teżerċita ebda tifsira. Jirriżulta li l-derivattiv mhux biss juri rata ta 'tkabbir jew inaqqas il-funzjoni, u l-inklinazzjoni tal-tanġent għat-graff tal-funzjoni f'dak il-punt. definizzjoni mhux kompletament ċara. Let us teżamina fid-dettall. Ejja ngħidu aħna għandna graff ta 'funzjoni (li jieħu kurva interess). Hija għandha numru infinit ta 'punti, iżda hemm oqsma fejn biss punt wieħed għandu massimu jew minimu. Permezz ta 'kwalunkwe punt tali, inti tista' tiġbed linja dritta, li tkun perpendikulari għall-graff tal-funzjoni f'dak il-punt. Din il-linja se jissejjaħ tanġent. Ejja ngħidu aħna miżmuma sal-intersezzjoni mal-OX assi. Hekk ottenut bejn it-tanġent u l OX assi u l-angolu ser ikun iddeterminat mill-derivattiv. B'mod aktar speċifiku, il-tanġent ta 'dan l-angolu għandu jkun ugwali għal dan.

Ejja nitkellmu ftit dwar il-każijiet partikolari u d-derivattivi Let us teżamina n-numri.

każijiet speċjali

Kif aħna diġà msemmi, derivattivi ta 'numri - li valur derivattiv f'punt partikolari. Hawnhekk, per eżempju, jieħdu l-y funzjoni = x ^2. -Derivattiv ta 'x - numri, iżda b'mod ġenerali - funzjoni ekwivalenti għal 2 * x. Jekk għandna bżonn biex jiġi kkalkulat il-derivattiv, per eżempju, fil-punt x ₀ = 1, irridu jiksbu y "(1) = 2 * 1 = 2. Huwa sempliċi ħafna. Każ interessanti huwa l-derivattiv tan-numru kumpless. Li jmorru fi spjegazzjoni dettaljata ta 'dak li numru kumpless, aħna mhux se. Biżżejjed ngħid li dan in-numru li fiha l-hekk imsejħa unità immaġinarju - in-numru li kwadru ugwali -1. Il-kalkolu ta 'dan derivattiv huwa possibbli biss taħt il-kondizzjonijiet li ġejjin:

1) Għandu jkun hemm l-ewwel ordni derivattivi parzjali tal-partijiet reali u immaġinarja ta yu X.

2) il-kundizzjonijiet tal-Cauchy-Riemann assoċjat mal-ugwaljanza parzjali deskritti fl-ewwel paragrafu.

Każ ieħor interessanti, għalkemm mhux bħala kkumplikati bħala dak preċedenti, hija derivattiva ta 'numru negattiv. Fil-fatt, kull numri negattivi jistgħu jiġu rappreżentati bħala pożittiv, immultiplikat bi -1. Ukoll,-derivattiv u l-funzjoni kostanti ugwali għal kostanti multiplikat bil-derivattiv tal-funzjoni.

Ikun interessanti li jitgħallmu dwar l-irwol tad-derivati fil-ħajja tagħhom ta 'kuljum, u issa dan huwa u jiddiskutu dan.

applikazzjoni

Probabbilment kull wieħed minna mill-inqas darba biss matul ħajjithom qabda ruħi ħsieb li l-matematika huwa probabbli li jkun utli lilu. U tali ħaġa kkumplikata bħall-derivattiv probabbilment ma jkollux iktar użu. Fil-fatt, l-matematika - xjenza fundamentali, u l-frott tagħha tiżviluppa aktar fiżika, kimika, l-astronomija u anke l-ekonomija. Derivattiv mmarkat il-bidu ta ' analiżi matematika, li tana l-opportunità biex tiġbed konklużjonijiet mill-graffs ta' funzjonijiet, u aħna tgħallimna li tinterpreta l-liġijiet tan-natura u jibdluhom għall-vantaġġ tagħhom minħabba fiha.

konklużjoni

Naturalment, mhux kulħadd jista 'jkun utli għall-derivattiv fil-ħajja reali. Iżda matematika tiżviluppa loġika li żgur ser bżonn. Mhux għal xejn għax-matematika huwa msejjaħ il-reġina ta 'xjenzi: dan jikkonsisti minn fehim bażiku ta' oqsma oħra ta 'għarfien.