Differenzjali - dak li huwa dan? Kif issib l-differenzjali tal-funzjoni?

Flimkien ma 'derivattivi funzjonijiet tagħhom differenzjali - it xi wħud mill-kunċetti bażiċi tal-kalkulu differenzjali, -sezzjoni prinċipali ta 'analiżi matematiċi. Kif marbuta b'mod indissoċjabbli, kemm minnhom bosta sekli użati fis-soluzzjoni kważi problemi kollha li qamu matul attività xjentifika u teknika.

Il-feġġ ta 'l-kunċett ta' differenzjali

Għall-ewwel darba għamluha ċara li tali differenzjali, wieħed mill-fundaturi (flimkien ma 'Isaakom Nyutonom) differenzjali kalkulu matematiku Ġermaniż famużi Gotfrid Vilgelm Leybnits. Qabel dik matematiċi seklu 17. użat idea ċara ħafna u vaga ta 'xi infiniteżmali "indiviż" ta' xi funzjoni magħrufa, li jirrappreżentaw valur kostanti żgħir ħafna iżda mhux ugwali għal żero, li taħtu valuri l-funzjoni ma tistax tkun sempliċement. Għalhekk kien biss pass wieħed għall-introduzzjoni ta 'kunċetti ta' inkrementi infiniteżmali ta 'argumenti funzjoni u inkrementi rispettivi tagħhom tal-funzjonijiet li jistgħu jiġu espressi f'termini ta' derivattivi ta 'l-aħħar. U dan il-pass ittieħed kważi simultanjament iż-żewġ xjenzati kbira ta 'hawn fuq.

Ibbażat fuq il-ħtieġa li jiġu indirizzati urġenti problemi mechanics prattiċi li jikkonfrontaw xjenza tiżviluppa industrija u t-teknoloġija malajr, Newton u Leibniz ħolqu l-modi komuni ta 'sejba l-funzjonijiet tar-rata tal-bidla (speċjalment fir-rigward tal-veloċità mekkanika tal-korp tat-trajettorja magħrufa), li wassal għall-introduzzjoni ta' dawn il-kunċetti, bħala l-funzjoni derivattiv u l differenzjali, u sabet ukoll is-soluzzjonijiet problema invers algoritmu kif magħrufa per se (varjabbli) veloċitajiet traversat biex isibu t-triq li wasslet għall-kunċett ta 'integrali Ala.

Fil-xogħlijiet ta 'Leibniz u Newton idea ewwel kien jidher li l-differenzjali - huwa proporzjonali għall-inkrement tal-argumenti bażiċi Δh żidiet funzjonijiet Δu li jistgħu jiġu applikati b'suċċess biex jiġi kkalkulat il-valur tal-aħħar. Fi kliem ieħor, huma skoprew li funzjoni żieda tista 'tkun fi kwalunkwe punt (fi ħdan tad-domain tagħha ta' definizzjoni) hija espressa permezz tagħha derivattiv kemm Δu = y "(x) Δh + αΔh fejn α Δh - bqija, tendenza għal żero bħala Δh → 0, ħafna aktar mgħaġġla mill-Δh attwali.

Skond il-fundaturi ta 'analiżi matematika, il differenzjali - dan huwa eżattament l-ewwel mandat f'inkrementi ta' kull funzjoni. Anki mingħajr ma jkollhom xi definiti b'mod ċar sekwenzi kunċett limitu huma mifhuma intuwittivament li l-valur differenzjali tal-derivattiv tendenza li jaħdmu meta Δh → 0 - Δu / Δh → y "(x).

B'differenza Newton, li kien primarjament fiżiċista u apparat matematiċi meqjusa bħala għodda awżiljarja għall-istudju tal-problemi fiżiċi, Leibniz aktar attenzjoni għal dan għodda, inkluża sistema ta 'simboli viżivi u komprensibbli valuri matematiċi. Kien hu li ppropona l-notazzjoni standard ta 'dy differenzjali funzjoni = y "(x) dx, dx, u l-derivattiv tal-funzjoni argument y relazzjoni tagħhom" (x) = dy / dx.

Id-definizzjoni moderna

X'inhu l-differenzjali fir-rigward tal-matematika moderna? Huwa relatat mill-qrib mal-kunċett ta 'inkrement varjabbli. Jekk il-varjabbli y jieħu l-ewwel valur ta 'y y = _1, imbagħad y = y _2, il-y differenza ₂ ─ y ₁ huwa msejjaħ il-valur inkrement y. Iż-żieda tista 'tkun pożittiva. negattivi u żero. Il-kelma "inkrement" huwa nnominat Δ, Δu reġistrazzjoni (aqra "y delta") tindika l-valur tal-y inkrement. hekk Δu = y ₂ ─ y _1.

Jekk il-valur Δu funzjoni arbitrarja y = f (x) jistgħu jkunu rappreżentati bħala Δu = A Δh + α, fejn A hija l-ebda dipendenza fuq Δh, t. E. = const għall-x partikolari, u l-α-terminu meta Δh → 0 tendenza li huwa saħansitra aktar mgħaġġla mill-Δh attwali, allura l-ewwel ( "master") terminu proporzjonali Δh, u huwa għal (x) differenzjali y = f, ddenotata dy jew df (x) (aqra "y de", "de eff minn X"). Għalhekk differenzjali - a "prinċipali" lineari fir-rigward tal-komponenti ta 'b'żidiet ta' funzjonijiet Δh.

spjegazzjoni mekkaniku

Let s = f (t) - id-distanza f'linja dritta jiċċaqilqu punt materjal mill-pożizzjoni inizjali (t - ħin l-ivvjaġġar). Inkrement Δs - huwa l-mod punt matul intervall ta 'ħin Δt, u l-ds differenzjali = f' (t) Δt - din it-triq, li se jsiru punt għall-istess ħin Δt, jekk tinżamm il-veloċità f '(t), milħuq fil-ħin t . Meta Δt ds triq immaġinarja infiniteżmali differenti mill-Δs attwali infinitesimally jkollhom ordni ogħla fir-rigward Δt. Jekk il-veloċità fil-ħin t ma jkunx ugwali għal żero, il ds valur approssimattiv jagħti punt preġudizzju żgħar.

interpretazzjoni ġeometrika

Ħalli l-linja L huwa l-graff ta 'y = f (x). Imbagħad Δ x = MQ, Δu = QM "(ara. Figura hawn taħt). Tanġent MN pawżi Δu maqtugħa f'żewġ partijiet, QN u NM ". Ewwel u Δh huwa proporzjonali QN = MQ ∙ tg (QMN angolu) = Δh f '(x), t. E QN hija differenzjali dy.

It-tieni parti tad-differenza Δu NM'daet ─ dy, meta Δh tul → 0 NM "inaqqas aktar malajr milli l-inkrement tal-argument, jiġifieri hija għandha l-ordni ta 'daqs żgħir ogħla minn Δh. F'dan il-każ, jekk f (x) ≠ 0 (tanġent mhumiex paralleli OX) segmenti "QM'i QN ekwivalenti; fi kliem ieħor NM "jonqos malajr (ordni tal ċokon ta 'diplomi tagħha) mill-inkrement totali Δu = QM". Dan huwa evidenti fil-Figura (toqrob is-segment M'k M NM'sostavlyaet persentaġġ QM "segment kollu iżgħar).

Allura, grafikament differenzjali funzjoni arbitrarja hija ugwali għall-inkrement tal-ordinat tas-tanġent.

Derivattiv u differenzjali

Fattur fl-ewwel terminu tal-funzjoni espressjoni inkrement huwa ugwali għall-valur ta 'f derivattiv tagħha "(x). Għalhekk, ir-relazzjoni li ġejja - dy = f '(x) Δh jew df (x) = f' (x) Δh.

Huwa magħruf li l-inkrement tal-argument indipendenti hija ugwali għal differenzjali tagħha Δh = dx. Għaldaqstant, nistgħu jikteb: f '(x) dx = dy.

Tfittxija (xi kultant jingħad li l- "deċiżjoni") differenzjali hija mwettqa bl-istess regoli bħal-derivattivi. Lista minnhom hija mogħtija hawn taħt.

X'inhi l-aktar universali: l-inkrement tal-argument jew differenzjali tagħha

Hawnhekk huwa meħtieġ li jsiru xi kjarifiki. valur Rappreżentazzjoni f '(x) differenzjali Δh possibbli meta wieħed iqis x bħala argument. Iżda l-funzjoni tista 'tkun kumplessa, li fiha x tista' tkun funzjoni ta 'l-argument t. Imbagħad ir-rappreżentazzjoni tal-espressjoni differenzjali ta 'f' (x) Δh, bħala regola, huwa impossibbli; ħlief fil-każ ta 'dipendenza lineari x = f' + b.

Fir-rigward tal-formula f '(x) dx = dy, allura fil-każ ta' argument indipendenti x (imbagħad dx = Δh) fil-każ ta 'dipendenza parametriċi ta' x t, huwa differenzjali.

Per eżempju, l-espressjoni 2 x Δh huwa għall y = x ² differenzjali tagħha meta x hija argument. Aħna issa x = t ² u tassumi l-argument t. Imbagħad y = x ² = t ^4.

Dan huwa segwit minn (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. Għalhekk Δh = 2tΔt + Δt ^2. Għalhekk: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Din l-espressjoni mhix proporzjonali għall Δt, u għalhekk issa 2xΔh mhix differenzjali hu. Hija tista 'tinstab mill-y ekwazzjoni = x ² = t ^4. Huwa ugwali dy = 4t ³ Δt.

Jekk nieħdu l-espressjoni 2xdx, huwa l-y differenzjali = x ² għal kull argument t. Tabilħaqq, meta x = t ² jiksbu dx = 2tΔt.

Allura 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. L-espressjoni differenzjali rreġistrati minn żewġ fatturi varjabbli differenti jikkoinċidu.

Sostituzzjoni differenzjali b'żidiet

Jekk f '(x) ≠ 0, allura Δu u dy ekwivalenti (meta Δh → 0); jekk f '(x) = 0 (tifsira u dy = 0), mhumiex ekwivalenti.

Per eżempju, jekk y = x ^2, allura Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² u dy = 2xΔh. Jekk x = 3, allura għandna Δu = 6Δh + Δh ² u dy = 6Δh li huma ekwivalenti Δh ² → 0 dovut, meta x = 0 valur Δu = Δh ² u dy = 0 mhumiex ekwivalenti.

Dan il-fatt, flimkien mal-istruttura sempliċi tal-differenzjali (m. E. Linearità fir-rigward Δh), hija frekwentament użata fil-kalkolu approssimattiv, fuq is-suppożizzjoni li Δu ≈ dy għall Δh żgħar. Sib il-funzjoni differenzjali huwa normalment aktar faċli milli tikkalkula l-valur eżatt tal-inkrement.

Per eżempju, għandna kubu metalliku ma tarf x = 10.00 ċm. Fuq ssaħħan il-tarf imtawla fuq Δh = 0.001 ċm. Kif żiedet il-volum kubu V? Għandna V = x ^2, b'tali mod li dv = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ ¹⁰ Frar 0/01 = 3 ^(cm3). Żieda † v differenzjali ekwivalenti dv, sabiex † v = 3 ^cm3. kalkolu sħiħ jagħti ³ † v = 10,01 ─ Marzu ¹⁰ = 3.003001. Imma r-riżultat tan-numri kollha ħlief l-ewwel inaffidabbli; għalhekk, xorta huwa neċessarju li jarrotondaw sa 3 ċm ^3.

Ovvjament, dan l-approċċ huwa utli biss jekk huwa possibbli li jiġi stmat il-valur imparted bi żball.

funzjoni differenzjali: eżempji

Ejja tipprova ssib l-differenzjali tal-y funzjoni = x ^3, il-konstatazzjoni derivattiv. Ejjew jagħtu l-Δu inkrement argument u jiddefinixxu.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Hawnhekk, il-koeffiċjent A = 3x ² ma tiddependix fuq Δh, b'tali mod li l-ewwel terminu huwa proporzjonali Δh, il-membru ieħor 3xΔh Δh ² + ³ meta Δh → 0 inaqqas aktar mgħaġġla mill-inkrement tal-argument. Konsegwentement, membru tal 3x ² Δh huwa l differenzjali ta 'y = x ^3:

dy = 3x ² Δh = 3x ² dx jew d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Fejn d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Aħna issa jsibu l-y funzjoni = 1 / x mid-derivattiv. Imbagħad d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Għalhekk dy = ─ Δh / x ^2.

Differenzjali funzjonijiet bażiċi alġebrin huma mogħtija hawn taħt.

kalkoli approssimattivi li jużaw differenzjali

Li jivvaluta l-funzjoni f (x), u tiegħu derivattiv f '(x) fi x = a huwa spiss diffiċli, iżda li jagħmlu l-istess fil-viċinanza ta' x = a huwa mhux faċli. Sussegwentement jaslu għall-għajnuna ta 'l-espressjoni approssimattiv

f (a + Δh) ≈ f '(a) Δh + f (a).

Dan jagħti valur approssimattiv tal-funzjoni f'inkrementi żgħar permezz differenzjali tagħha Δh f '(a) Δh.

Għalhekk, din il-formula tagħti espressjoni approssimattiv għall-funzjoni fil-punt finali ta 'porzjon ta' tul Δh bħala somma tal-valur tagħha fil-punt tat-tluq tal-porzjon (x = a) u l-differenzjali fl-istess punt tat-tluq. Eżattezza tal-metodu għad-determinazzjoni tal-valuri tal-funzjoni hawn taħt turi l-tpinġija.

Madankollu magħrufa u l-espressjoni eżatta għall-valur tal-funzjoni x = a + Δh mogħtija b'żidiet finite formula (jew, alternattivament, formula Lagrange)

f (a + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (a),

fejn il-punt x = a + ξ hija fil-medda bejn x = a sa x = a + Δh, għalkemm pożizzjoni eżatta tagħha mhix magħrufa. Il-formula eżatta tippermetti li tevalwa l-iżball tal-formula approssimattiva. Jekk nistaqsu fil-formula Lagrange ξ = Δh / 2, għalkemm ma tibqax tkun preċiża, iżda tagħti, bħala regola, approċċ ħafna aħjar mill-espressjoni oriġinali f'termini tal-differenzjali.

formuli ta 'evalwazzjoni żball billi tapplika differenzjali

istrumenti tal-kejl , bħala prinċipju, eżatta, u jġibu l-informazzjoni tal-kejl li jikkorrispondu għall-iżball. Dawn huma karatterizzati billi tillimita l-iżball assoluta, jew, fil-qosor, il-limitu ta 'żball - pożittivi, li jaqbeż b'mod ċar il-iżball f'valur assolut (jew l-aktar ugwali għal dan). Il-limitazzjoni tal-iżball relattiv huwa msejjaħ il-kwozjent miksub billi jiġi diviż lilha mill-valur assolut tal-valur imkejjel.

Ħalli formula eżatta y = f (x) il-funzjoni użati biex y vychislyaeniya, iżda l-valur ta 'x hija r-riżultat tal-kejl, u għalhekk iġġib l-iżball y. Imbagħad, biex isibu l-limitazzjoni tal-iżball assoluta │Δu│funktsii y, bil-formula

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

fejn │Δh│yavlyaetsya argument żball marġinali. │Δu│ kwantità għandha tiżdied jew titnaqqas il fuq, kif kalkolu ineżatta nnifisha hija s-sostituzzjoni tal-inkrement dwar il-kalkolu differenzjali.